Adobe Illustrator 7.0
Кривая Безье
В качестве формулы, которая бьыа бы достаточно простой (с точки зрения математика), универсальной (с точки зрения программиста) и геометрически наглядной (с точки зрения пользователя — художника-дизайнера), чаще
всего используется упомянутая кривая Безье. На самом деле, это целое семейство кривых, из которых используется частный случай с кубической степенью, то есть кривая третьей степени, описываемая таким уравнением
R(t) = Po(l-t)3 + Pit(l-t)2 + Pzt^l-t) + P3t3, где 0 <; t <. 1.
Общий вид элементарной кривой представлен на рис. 4-1. Такую кривую можно построить, если известны координаты четырех точек, называемых контрольными. Из четырех контрольных точек кривая проходит только через две, поэтому эти точки иначе называются опорными (иначе они называются узлами (node), поскольку «связывают» элементарные кривые друг с другом, чтобы образовать единый сложный контур). Две другие контрольные точки не лежат на кривой, но их расположение определяет кривизну кривой, поэтому эти точки иначе называются управляющими точками, а линии, соединяющие управляющую и опорную точки, — управляющей линией (в просторечии их именуют «рычагами»).
Рис. 4-1. Общий вид элементарной кривой Безье
Кривая Безье является гладкой кривой, то есть она не имеет разрывов и непрерывно заполняет отрезок между начальной и конечной точками.
Кривая начинается в первой опорной точке, касаясь отрезка своей управляющей линии, и заканчивается в последней опорной точке, также касаясь отрезка своей управляющей линии. Это позволяет гладко соединять две кривые Безье друг с другом: управляющие линии располагаются вдоль одной прямой (рис. 4-2).
Кривая лежит в выпуклой оболочке, создаваемой управляющими линиями (рис. 4-3). Это свидетельствует о стабильности («благонравном поведении») кривой.
Рис. 4-2. Гладкое соединение двух кривых Безье
Рис. 4-3.
Выпуклая оболочка кривой Безье
Сривая Безье симметрична, то есть она сохраняет свою форму, если изме-шть
направление вектора кривой на противоположный («поменять местами» начальную и конечную опорные точки). Применение это свойство на-юдит при создании составных контуров. Смотрите об этом в главе 7.
<ривая Безье, используя математический язык, «аффинно инвариантна», то :сть она сохраняет свою форму при масштабировании (рис. 4-4). На этом '.войстве зиждется вся свобода векторной графики.
юли существует только две контрольные точки (опорные точки) или управ-[яющие линии коллинеарны (лежат на одной прямой), кривая превращается ) прямой отрезок.
Изменение положения хотя бы одной из контрольных точек ведет к изменению формы всей кривой Безье. Это свойство — источник бесконечного разнообразия форм векторных объектов.
Из множества таких элементарных кривых составляется контур произвольной формы и произвольной сложности (ограничения появляются в конкретных приложениях и конкретных технических системах).
